ある高校入試の問題らしいのだけれど、三角形の外接円の半径を求める問題です。
この問題もけっこう難しいのですが、それ以上に問題図をCADで作図するのが難しい。
つまり、この問題が解けて初めて問題の図が作図できるのです。
これが問題の図なんだけれど、これをCADで描いたものです。
ということは解き方がわかっているわけね。
こんな任意の辺の長さだけを与えられた三角形をCADで描くのが面倒なのよ。
まず辺BCが21㎝（210㎜）だから、それを線描コマンドで寸法指定して水平に引きます。
点Bから半径20㎝の円を円弧コマンドで半径指定で描く。
次いで点Cから半径13㎝の円を同様に描く。
両方の円の交点をAとして三角形ABCを線で結んで描く。
ここまでは小学生でもできるね。いや、その後の手法も小学生で十分できるんですよ。
ユークリッドの「原論」を参照してください。
ここからはCADが得意とする描法で、三点ABCが決まれば、この三点を円周上に持つ円が一つ描けるのです（三角形の外接円の定義）。
これも小学校で習います。
じゃあ、この円の中心はどこかな？
辺ACを半径とする、中心がAの円と同じ半径で、中心がCの円を描き、両円の二交点を結びます。
この直線は弧ACと辺ACを二等分し、辺ACとは直交します。
この直線上に三角形ABCの外接円の中心があるはずですが、それがどこかはまだ不明です。
同じように辺ABでも円を描いてみればよいのですが、辺の長さが20㎝ともなると、ちょっと大きすぎて用紙からはみ出るし、事務用のコンパスではこんな大きな円は描けませんね。
実は三角形ABCにこだわらずに、たとえば点Aと、もっと短い弦を持つように円周上の任意の点を取って点Aと結んだ弦の両端をそれぞれ中心とする半径が弦の長さの円を描いて二交点を求めればよいのです。
こうして、三角形ABCの外接円の中心が、二本の直線の交点から求まりました。この中心をOとします。
やっと問題文が描けました。
解答ですが、私は、この辺ACが13㎝というところにちょっとひらめいたものがあったのです。
ピタゴラス三角形に斜辺が13、あとの二辺が5、12という組み合わせのものがあったはずです。
そうすると、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をDとすると、辺DCが5cmそして辺ADが12cmとなるわけ。
さらに、点Aと中心Oを結び、その延長を円Oの円周と交わらせた交点をEとしましょう。
つまり、辺AEは円Oの直径です。
ここで三角形ABEと、三角形ADCが相似になっていることがわかりますかね。
辺ABに注目して、三角形ABCと三角形ABEは円Oの円周上に円周角を持ちます。
∠AEB＝∠ACB（底辺が共通弦の円周角）
∠ABE＝直角（直径の円周角）
∠ADC＝直角（垂線の足）
となって、二つの角が相等しい三角形は互いに相似であるからです。
そうしますと、ピタゴラス三角形である三角形ADCと相似な三角形ABEなのだから辺の比から、
AE：AC=AB：AD
AE：13＝20：12
12AE＝260
AE＝65／3→円Oの直径
ゆえに、円Oの半径は65／3÷2＝65／6
（こういう問題は分数で答えさせるらしい）
この問題もけっこう難しいのですが、それ以上に問題図をCADで作図するのが難しい。
つまり、この問題が解けて初めて問題の図が作図できるのです。
これが問題の図なんだけれど、これをCADで描いたものです。
ということは解き方がわかっているわけね。
こんな任意の辺の長さだけを与えられた三角形をCADで描くのが面倒なのよ。
まず辺BCが21㎝（210㎜）だから、それを線描コマンドで寸法指定して水平に引きます。
点Bから半径20㎝の円を円弧コマンドで半径指定で描く。
次いで点Cから半径13㎝の円を同様に描く。
両方の円の交点をAとして三角形ABCを線で結んで描く。
ここまでは小学生でもできるね。いや、その後の手法も小学生で十分できるんですよ。
ユークリッドの「原論」を参照してください。
ここからはCADが得意とする描法で、三点ABCが決まれば、この三点を円周上に持つ円が一つ描けるのです（三角形の外接円の定義）。
これも小学校で習います。
じゃあ、この円の中心はどこかな？
辺ACを半径とする、中心がAの円と同じ半径で、中心がCの円を描き、両円の二交点を結びます。
この直線は弧ACと辺ACを二等分し、辺ACとは直交します。
この直線上に三角形ABCの外接円の中心があるはずですが、それがどこかはまだ不明です。
同じように辺ABでも円を描いてみればよいのですが、辺の長さが20㎝ともなると、ちょっと大きすぎて用紙からはみ出るし、事務用のコンパスではこんな大きな円は描けませんね。
実は三角形ABCにこだわらずに、たとえば点Aと、もっと短い弦を持つように円周上の任意の点を取って点Aと結んだ弦の両端をそれぞれ中心とする半径が弦の長さの円を描いて二交点を求めればよいのです。
こうして、三角形ABCの外接円の中心が、二本の直線の交点から求まりました。この中心をOとします。
やっと問題文が描けました。
解答ですが、私は、この辺ACが13㎝というところにちょっとひらめいたものがあったのです。
ピタゴラス三角形に斜辺が13、あとの二辺が5、12という組み合わせのものがあったはずです。
そうすると、点Aから辺BCに下ろした垂線の足をDとすると、辺DCが5cmそして辺ADが12cmとなるわけ。
さらに、点Aと中心Oを結び、その延長を円Oの円周と交わらせた交点をEとしましょう。
つまり、辺AEは円Oの直径です。
ここで三角形ABEと、三角形ADCが相似になっていることがわかりますかね。
辺ABに注目して、三角形ABCと三角形ABEは円Oの円周上に円周角を持ちます。
∠AEB＝∠ACB（底辺が共通弦の円周角）
∠ABE＝直角（直径の円周角）
∠ADC＝直角（垂線の足）
となって、二つの角が相等しい三角形は互いに相似であるからです。
そうしますと、ピタゴラス三角形である三角形ADCと相似な三角形ABEなのだから辺の比から、
AE：AC=AB：AD
AE：13＝20：12
12AE＝260
AE＝65／3→円Oの直径
ゆえに、円Oの半径は65／3÷2＝65／6
（こういう問題は分数で答えさせるらしい）
